测度

测度概述
　　数学上，测度(Measure)是一个函数，它对一个给定集合的某些子集指定一个数，这个数可以比作大小、体积、概率等等。传统的积分是在区间上进行的，后来人们希望把积分推广到任意的集合上，就发展出测度的概念，它在数学分析和概率论有重要的地位。
　　测度论是实分析的一个分支，研究对象有σ代数、测度、可测函数和积分，其重要性在概率论和统计学中有所体现的。
测度的定义
　　形式上说，一个测度 $\text{[math]}$ tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/e/e/f/eefd5d1da2c8a92c0ce03a0b7993d1ef.png" alt="\mu\">（详细的说法是可列可加的正测度）是个函数。设 $\text{[math]}$ tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/8/4/c/84cc21a1ecbbe55e01e12e575a52cca2.png" alt="\mathcal{A}">是集合 $\text{[math]}$ tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/f/7/1/f71277dbb6dda720f087627e3783b109.png" alt="X\">上的一个σ代数， $\text{[math]}$ tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/e/e/f/eefd5d1da2c8a92c0ce03a0b7993d1ef.png" alt="\mu\">在上 $\text{[math]}$ tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/8/4/c/84cc21a1ecbbe55e01e12e575a52cca2.png" alt="\mathcal{A}">定义，于扩充区间 $\text{[math]}$ tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/3/1/5/315e0047ccbfa87354192dac2fe986fb.png" alt="">中取值，并且满足以下性质：
空集的测度为零：

$\text{[math]}$ tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/f/f/5/ff5047a6eda29c14578cedd262452a77.png" alt="\mu(\emptyset) = 0">。可数可加性，或称σ可加性：若 $\text{[math]}$ tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/3/e/9/3e94e530292057f88251a6d6a1ccd83e.png" alt="E_1,E_2,\cdots">为 $\text{[math]}$ tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/8/4/c/84cc21a1ecbbe55e01e12e575a52cca2.png" alt="\mathcal{A}">中可数个两两不交的集合的序列，则所有 $\text{[math]}$ tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/8/6/7/867fd3422751fbcdbb5380658afb6b3e.png" alt="E_i\">的并集的测度，等于每个 $\text{[math]}$ tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/8/6/7/867fd3422751fbcdbb5380658afb6b3e.png" alt="E_i\">的测度之总和：

$\text{[math]}$ tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/1/b/d/1bd1ba72cddb448f96db34a34a1de64a.png" alt="\mu(\bigcup_{i=1}^\infty E_i) = \sum_{i=1}^\infty \mu(E_i)">。
　　这样的三元组 $\text{[math]}$ tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/8/4/7/847ef2ac92a6a04b43d70dd4d87d28b6.png" alt="(X, \mathcal{A}, \mu)">称为一个测度空间，而 $\text{[math]}$ tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/8/4/c/84cc21a1ecbbe55e01e12e575a52cca2.png" alt="\mathcal{A}">中的元素称为这个空间中的可测集。
测度的性质
　　下面的一些性质可从测度的定义导出：
单调性
　　测度 $\text{[math]}$ tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/e/e/f/eefd5d1da2c8a92c0ce03a0b7993d1ef.png" alt="\mu\">的单调性：
　　若 $\text{[math]}$ tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/0/f/3/0f30bc766b8540c7c342979541c6d949.png" alt="E_1\">和 $\text{[math]}$ tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/b/7/a/b7a7ec4f8107a85c4ce68d1d3978654f.png" alt="E_2\">为可测集，而且 $\text{[math]}$ tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/b/e/b/beb62a161c969abaec0ad687c85a5ec1.png" alt="E_1 \subseteq E_2">，则 $\text{[math]}$ tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/1/f/0/1f0d4416c48e83fec8608323dd45e9fb.png" alt="\mu(E_1) \leq \mu(E_2)">。
可数个可测集的并集的测度
　　若 $\text{[math]}$ tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/2/9/4/2949a6cef158893840d09bb7d4d431bf.png" alt="E_1, E_2, E_3\cdots">为可测集（不必是两两不交的），并且对于所有的 $\text{[math]}$ tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/e/4/8/e4861b707ff550ef16e31580a5206c7e.png" alt="n\">， $\text{[math]}$ tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/2/e/0/2e001036dd1a692707e592447fe5d958.png" alt="E_n\">? $\text{[math]}$ tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/3/5/6/35633e17e72c636526132f7e592e4204.png" alt="E_{n+1}\">，则集合 $\text{[math]}$ tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/2/e/0/2e001036dd1a692707e592447fe5d958.png" alt="E_n\">的并集是可测的，且有如下不等式（「次可列可加性」）：

$\text{[math]}$ tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/4/b/2/4b273811921920602554594096427575.png" alt="\mu(\bigcup_{i=1}^\infty E_i) \leq \sum_{i=1}^\infty \mu(E_i)">
　　以及如下极限：

$\text{[math]}$ tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/9/9/f/99f960476201d9694e6421f2b28645c0.png" alt="\mu(\bigcup_{i=1}^\infty E_i) = \lim_{i\to\infty} \mu(E_i)">可数个可测集的交集的测度
　　若 $\text{[math]}$ tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/3/e/9/3e94e530292057f88251a6d6a1ccd83e.png" alt="E_1,E_2,\cdots">为可测集，并且对于所有的 $\text{[math]}$ tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/e/4/8/e4861b707ff550ef16e31580a5206c7e.png" alt="n\">， $\text{[math]}$ tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/3/5/6/35633e17e72c636526132f7e592e4204.png" alt="E_{n+1}\">? $\text{[math]}$ tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/2/e/0/2e001036dd1a692707e592447fe5d958.png" alt="E_n\">，则 $\text{[math]}$ tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/2/e/0/2e001036dd1a692707e592447fe5d958.png" alt="E_n\">的交集是可测的。进一步说，如果至少一个 $\text{[math]}$ tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/2/e/0/2e001036dd1a692707e592447fe5d958.png" alt="E_n\">的测度有限，则有极限：

$\text{[math]}$ tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/a/5/4/a54833a34ea7035401c95860104ffd5e.png" alt="\mu(\bigcap_{i=1}^\infty E_i) = \lim_{i\to\infty} \mu(E_i)">
　　如若不假设至少一个 $\text{[math]}$ tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/2/e/0/2e001036dd1a692707e592447fe5d958.png" alt="E_n\">的测度有限，则上述性质一般不成立。例如对于每一个 $\text{[math]}$ tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/2/e/2/2e259ed38824a8713d454b6f5bad6bde.png" alt="n\in \mathbb{N}">，令

$\text{[math]}$ tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/c/1/3/c1313712763e49bc4763d361488a3b59.png" alt="E_n = σ有限测度<br>如果<img class='tex' src=" http:>是一个有限实数（而不是 $\text{[math]}$ tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/d/2/4/d245777abca64ece2d5d7ca0d19fddb6.png" alt="\infty">），则测度空间 $\text{[math]}$ tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/8/4/7/847ef2ac92a6a04b43d70dd4d87d28b6.png" alt="(X, \mathcal{A}, \mu)">称为有限测度空间。如果 $\text{[math]}$ tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/f/3/b/f3bc1f9943ac13861767a892be04bbe3.png" alt="\Omega\">可以表示为可数个可测集的并集，而且这些可测集的测度均有限，则该测度空间称为σ有限测度空间。称测度空间中的一个集合 $\text{[math]}$ tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/f/b/6/fb6b20dfdc28097525ae99b3bd2c8a23.png" alt="A\">具有σ有限测度，如果 $\text{[math]}$ tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/f/b/6/fb6b20dfdc28097525ae99b3bd2c8a23.png" alt="A\">可以表示为可数个可测集的并集，而且这些可测集的测度均有限。
作为例子，实数集赋以标准勒贝格测度是σ有限的，但不是有限的。为说明之，只要考虑闭区间族，k 取遍所有的整数；这样的区间共有可数多个，每一个的测度为1，而且并起来就是整个实数集。作为另一个例子，取实数集上的计数测度，即对实数集的每个有限子集，都把元素个数作为它的测度，至于无限子集的测度则令为 $\text{[math]}$ tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/d/2/4/d245777abca64ece2d5d7ca0d19fddb6.png" alt="\infty">。这样的测度空间就不是σ有限的，因为任何有限测度集只含有有限个点，从而，覆盖整个实数轴需要不可数个有限测度集。σ有限的测度空间有些很好的性质；从这点上说，σ有限性可以类比于拓扑空间的可分性。
完备性
一个可测集 $\text{[math]}$ tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/0/b/0/0b08931cf67900aa9cfe619854cc66b8.png" alt="N\">称为零测集，如果 $\text{[math]}$ tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/9/7/2/9723dda01c2e1f2a415ced7e436b2fe9.png" alt="\mu(N)=0\">。零测集的子集称为可去集，它未必是可测的，但零测集自然是可去集。如果所有的可去集都可测，则称该测度为完备测度。
一个测度可以按如下的方式延拓为完备测度：考虑 $\text{[math]}$ tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/f/7/1/f71277dbb6dda720f087627e3783b109.png" alt="X\">的所有这样的子集 $\text{[math]}$ tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/b/a/4/ba42caf042989747e6e3aab9e240d845.png" alt="F\">，它与某个可测集 $\text{[math]}$ tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/1/7/b/17bf1aafd43252d4cc1766f085a6c458.png" alt="E\">仅差一个可去集，也就是说 $\text{[math]}$ tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/1/7/b/17bf1aafd43252d4cc1766f085a6c458.png" alt="E\">与 $\text{[math]}$ tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/b/a/4/ba42caf042989747e6e3aab9e240d845.png" alt="F\">的对称差包含于一个零测集中。由这些子集 $\text{[math]}$ tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/b/a/4/ba42caf042989747e6e3aab9e240d845.png" alt="F\">生成的σ代数，并定义 $\text{[math]}$ tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/9/0/0/9004415a9e19ff219f55b1951ec343e3.png" alt="\mu(F)\">的值就等于 $\text{[math]}$ tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/0/2/1/0218e94edabc628923c78014ea5e3aa0.png" alt="\mu(E)\">。
例子
下列是一些测度的例子（重要性与顺序无关）。
计数测度　定义为 $\text{[math]}$ tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/4/f/9/4f96d9e9b2f1acd825f81ad43f85698a.png" alt="\mu(S) = S\">的‘元素个数’。一维勒贝格测度是定义在 $\text{[math]}$ tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/6/9/a/69a45f1e602cd2b2c2e67e41811fd226.png" alt="\mathbb{R}">的一个含所有区间的σ代数上的、完备的、平移不变的、满足 $\text{[math]}$ tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/c/7/a/c7a36793073e1288383b0d6b7690dea7.png" alt="\mu()=1\">的唯一测度。 Circular angle 测度是旋转不变的。局部紧拓扑群上的哈尔测度是勒贝格测度的一种推广，而且也有类似的刻划。恆零测度定义为 $\text{[math]}$ tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/6/2/d/62d91d8dae4cc09e12a2ff51cabdbb79.png" alt="\mu(S) = 0\">，对任意的 $\text{[math]}$ tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/a/a/0/aa0919ffd628af51a8619bc522c022dc.png" alt="S\">。每一个概率空间都有一个测度，它对全空间取值为1（于是其值全部落到单位区间中）。这就是所谓概率测度。其它例子，包括：狄拉克测度、波莱尔测度、若尔当测度、遍历测度、欧拉测度、高斯测度、贝尔测度、拉东测度。

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