区间估计

基本定义
　　用数轴上的一段经历或一个数据区间,表示总体参数的可能范围.这一段距

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离或数据区间称为区间估计的置信区间。出发点
　　区间估计(interval estimation)是从点估计值和抽样标准误出发,按给定的概率值建立包含待估计参数的区间.其中这个给定的概率值称为置信度或置信水平(confidence level),这个建立起

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来的包含待估计函数的区间称为置信区间(confidence interval),指总体参数值落在样本统计值某一区内的概率；而置信区间是指在某一置信水平下，样本统计值与总体参数值间误差范围。置信区间越大，置信水平越高。划定置信区间的两个数值分别称为置信下限(lower confidence limit,lcl)和置信上限(upper confidence limit,ucl)常常形式
　　区间估计，区间估计的区间上、下界通常形式为：“点估计±误差”
　　“总体均值”的区间估计

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符号假设

　　总体均值：μ
　　总体方差：σ
　　样本均值：x* =(1/n)×Σ(Xi)
　　样本方差：s* =(1/(n-1))×Σ(Xi-x*)^2
　　置信水平：1-α

pic-info">符号假设

　　显著水平：α

问题

　　已知n个样本数据Xi (i=1,2,...,n)，如何估计总体的均值?
　　首先，引入记号：
　　σ'＝σ/sqrt(n)

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　　s'＝s*/sqrt(n)
　　然后，分情况讨论：
　　情况1　小样本(n<30)，σ已知，此时区间位于 x* ± z(α/2)×σ'
　　情况2　小样本(n<30)，σ未知，此时区间位于 x* ± z(α/2)×s'
　　情况3　大样本(n≥30)，σ已知，此时区间位于 x* ± z(α/2)×σ'

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　　情况4　大样本(n≥30)，σ未知，此时区间位于 x* ± t(α/2)×s'
　　其中，
　　z(α/2)表示：正态分布的水平α的分位数
　　t(α/2)表示：T分布的水平α的分位数正文

形式

　　参数估计的一种形式。通过从总体中抽取的样本，根据一定的正确度与精确度的要求，构造出适当的区间，以作为总体的分布参数(或参数的函数)的真值所在范围的估

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计。例如，估计一种药品所含杂质的比率在1～2％之间；估计一种合金的断裂强度在1000～1200千克之间，等等。在有的问题中，只需要对未知量取值的上限或下限作出估计。如前例中，一般只对上限感兴趣，而在第二例中，则只对下限感兴趣。

构造

　　在数理统计学中，待估计的未知量是总体分布的参数θ或θ的某个函数g(θ)。区间估计问题可一般地表述为：要求构造一个仅依赖于样本X＝(x1,x2,…,xn)的适当的区间【A(X),B(X)】,一旦得到了样本X的观测值尣，就把区间【A(尣),B(尣)】作为θ或g(θ)的估计。至于怎样的区间才算是“适当”，如何去构造它，则与所依据的原理和准则有关。这些原理、准则及构造区间估计的方法，便是区间估计理论的研究对象。作为参数估计的形式，区间估计与点估计是并列而又互相补充的，它与假设检验也有密切的联系。置信区间理论
　　这是1934年，由统计学家J.奈曼所创立的一种严格的区间估计理论。置信系数是这个理论

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中最为基本的概念。
　　置信系数奈曼以概率的频率解释为出发点，认为被估计的θ是一未知但确定的量，而样本X是随机的。区间【A(X)，B(X)】是否真包含待估计的θ，取决于所抽得的样本X。因此，区间【A(X),B(X)】只能以一定的概率包含未知的θ。对于不同的θ，π(θ)之值可以不同，π(θ)对不同的θ取的最小值1-α(0＜α＜1)称为区间【A(X)，B(X)】的置信系数。与此相应，区间【A(X)，B(X)】称为θ的一个置信区间。这个名词在直观上可以理解为：对于“区间【A(X),B(X)】包含θ”这个推断,可以给予一定程度的相信，其程度则由置信系数表示。

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　　对θ的上、下限估计有类似的概念，以下限为例,称A(X)为θ的一个置信下限，若一旦有了样本X，就认为θ不小于A(X),或者说，把θ估计在无穷区间【A(X),∞)内。"θ不小于A(X)"这论断正确的概率为θ)。π1(θ)对不同的θ取的最小值1-α(0＜α＜1)称为置信下限A(X)的置信系数。
　　在数理统计中，常称不超过置信系数的任何非负数为置信水平。优良性准则
　　置信系数1-α 反映了置信区间【A(X),B(X)】的可靠程度，1-α愈大，

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【A(X),B(X)】用以估计θ时，犯错误(即θ并不在【A(X)，B(X)】之内)的可能性愈小。但这只是问题的一个方面。为了使置信区间【A(X),B(X)】在实际问题中有用，它除了足够可靠外，还应当足够精确。比如说，估计某个人的年龄在 5至95岁之间，虽十分可靠，但太不精确，因而无用。通常指定一个很小的正数α（一般,α 取0.10,0.05，0.01等值）,要求置信区间【A(X),B(X)】的置信系数不小于1-α,在这个前提下使它尽可能地精确。对于“精确”的不同的解释，可以导致种种优良性标准。比较重要的有两个：一是考虑区间的长度B(X)-A(X)愈小愈好。这个值与X有关,一般用其数学期望Eθ(B(X)-A(X))作为衡量置信区间【A(X),B(X)】精确程度的指标。这个指标愈小, 置信区间的精确程度就愈大。另一个是考虑置信区间【A(X), B(X)】包含假值（指任何不等于被估计的 θ 的值）θ┡ 的概率，它愈小，【A(X),B(X)】作为θ的估计的精度就愈高。
　　如果A(X)是θ的置信下限，则在保证A(X)的置信系数不小于1-α

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的前提下，A(X)愈大，精确程度愈高。这也可以用【A(X) ,∞)包含假值θ┡(θ┡<θ)的概率来衡量,此概率愈小，置信下限A(X)的精确程度愈高。对置信上限有类似的结果，若在某个准则下，一个置信区间（或上、下限）比其他置信区间都好，则称它为在这个准则下是一致最优的。例如,在上述准则下,置信系数1-α的一致最优置信下限A(X)定义为：A(X)有置信系数1-α ,且对任何有置信系数1-α的置信下限A1(X)，当θ┡<θ时，成立置信区间
　　有时，对所考虑的置信区间（或上、下限）加上某种一般性限制，在这个前提下寻找最优者。无偏性是经常用的限制之一，如果一个置信区间（上、下限）包含真值θ的概率，总

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不小于包含任何假值θ┡的概率,则称该置信区间（上、下限）是无偏的。同变性（见统计决策理论）也是一个常用的限制。
　　求置信区间的方法最常用的求置信区间及置信上、下限的方法有以下几种。
　　一种是利用已知的抽样分布(见统计量)。例如，设x1,x2,…,xn为正态总体N(μ,σ2)（见正态分布）中抽出的样本，要作μ 的区间估计，记,· 则服从自由度为n-1的t分布。指定α>0，找这个分布的上α/2分位数tα/2(n-1)，则有
　　即
　　由此得到 μ 的一个置信系数为 1-α 的置信区间。类似地可以定出μ的置信系数为1-α的置信上、下限分别为。假设检验
　　另一种是利用区间估计与假设检验的联系，设要作θ的置

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信系数为1－α 的区间估计，对于任意的θ0，考虑原假设为 H:θ＝θ0，备择假设为 K:θ≠θ0。设有一水平为α 的检验，它当样本X属于集合A( θ0)时接受H。若集合{θ0∶X∈A(θ0)}是一个区间，则它就是θ的一个置信区间，其置信系数为1-α。就上例而言，对假设H:μ＝μ0的检验常用t检验：当时接受μ＝μ0，集合即为区间这正是前面定出的μ的置信区间。若要求θ的置信下限（或上限），则取原假设为θ≤θ0（或θ≥θ0）,备择假设为θ＞θ0（或θ＜θ0），按照同样的方法可得到所要求的置信下（上）限。
　　还有一种方法是利用大样本理论（见大样本统计）。例如，设x1,x2,…,xn为抽自参数为p的二点分布（见概率分布）的样本，当n→∞时，依分布收敛（见概率论中的收敛）于标准正态分布N(0,1)，以 uα/2记N (0，1)的上 α/2 分位数，则有。所以，可作为p的一个区间估计，上面的极限值1－α就定义为它的渐近置信系数。费希尔的信任推断法
　　20世纪30年代初期，统计学家R.A.费希尔提出了一种构造区间估计的方法，他称之为信任推断法。其基本观点是：设要作θ的区间估计,在抽样得到样本X以前，对θ一无所知，

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样本X透露了θ的一些信息，据此可以对θ取各种值给予各种不同的“信任程度”，而这可用于对θ作区间估计。例如，设X是从正态总体N(θ,1)中抽出的样本，则服从标准正态分布N(0,1)，由此可知，对任何α<b)有
　　即
　　费希尔把这个等式解释为：在抽样以前，对于θ落在区间内的可能性本来一无所知,通过抽样,获得了上述数值,它表达了统计工作者对这个区间的"信任程度",若取b)=-α=uα/2,则得到区间，其信任程度为 1-α。即当用上述区间作为θ的区间估计时，对于“它能包含被估计的θ”这一点可给予信任的程度为1-α。
　　在本例以及其他某些简单问题中，用费希尔的方法与用奈曼的方法得出一致的结果。但是，这两个方法不仅在基本观点上不一致，而且在较复杂的问题中，所得出的结果也不同。一个著名的例子是所谓的费希尔－贝伦斯问题：设两个正态分布μ1,μ2,σ娝,σ娤都未知，要求μ1-μ2的区间估计。费希尔用他的方法提供了一个与奈曼理论不一致的解法，奈曼在1941年曾对此进行了详尽的讨论。
　　另外。贝叶斯方法
　　（见贝叶斯统计）也是一个重要的构造区间估计的方法。统计决策理论中引进的一些概念和优良性准则,也可用于区间估计。此外序贯方法(见序贯分析)在区间估计中也有了

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相当的发展。
　　区域估计有时要对两个或更多的参数θ＝(θ1，θ2，…，θk)(k>1)，例如正态分布N(μ,σ2)中的μ与σ2，同时进行估计；这时，每当有样本X，就由X在θ的取值的k维空间Rk内定出一个区域Q(X)，而把θ估计在Q(X)内。这种估计叫做区域估计。所用区域一般为比较简单的几何形状，如长方体、球或椭球等。关于区域估计的置信系数、优良性准则及其求法等，与区间估计情况相似。
　　容忍限与容忍区间这是一个与区间估计有密切联系的概念,但处理的问题不同。给定β,у,0<β<1,0<у<1,以F记总体分布。若T(X)为一统计量,满足条件，则称 T(X)为总体分布F 的上（β，у）容忍限。类似地可定义下(β,у)容忍限。若T1(X)和T2(X)为两个统计量,T1(X)≤T2(X),且，则称【T1(X)，T2(X)】为总体分布的一个(β,у)容忍区间。例如,X是某产品的质量指标,而F为其分布，则(β,у)容忍区间【T1(X),T2(X)】的意义是：至少有1-β的把握断言“至少有100(1-у)％的产品,其质量指标落在区间【T1(X),T2(X)】之内”。可以说,容忍区间估计的是总体分布的概率集中在何处，而非总体分布参数。

区间估计

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