马尔可夫过程
马尔可夫过程
- 目录
- 1、 什么是马尔可夫过程
- 2、 马尔可夫过程的概率分布
- 3、 马尔可夫过程的应用举例
什么是马尔可夫过程
......
1、马尔可夫性(无后效性)
过程或（系统）在时刻t0所处的状态为已知的条件下，过程在时刻t %26gt; t0所处状态的条件分布，与过程在时刻t0之前年处的状态无关的特性称为马尔可夫性或无后效性。
即：过程“将来”的情况与“过去”的情况是无关的。
2、马尔可夫过程的定义
具有马尔可夫性的随机过程称为马尔可夫过程。
用分布函数表述马尔可夫过程：
设I：随机过程{X(t),tin T}的状态空间，假如对时间t的任意n个数值:
（注：X(tn)在条件X(ti) = xi下的条件分布函数）
(注：X(tn))在条件X(tn %26minus; 1) = xn %26minus; 1下的条件分布函数）
或写成：
这时称过程具马尔可夫性或无后性，并称此过程为马尔可夫过程。
3、马尔可夫链的定义
时间和状态都是离散的马尔可夫过程称为马尔可夫链, 简记为。
马尔可夫过程的概率分布
研究时间和状态都是离散的随机序列:,状态空间为
1、用分布律描述马尔可夫性
对任意的正整数n,r和，有：
PXm + n = aj | Xm = ai，其中。
2、转移概率
称条件概率Pij(m,m + n) = PXm + n = aj | Xm = ai为马氏链在时刻m处于状态ai条件下，在时刻m+n转移到状态aj的转移概率。
说明：转移概率具胡特点：
。
由转移概率组成的矩阵称为马氏链的转移概率矩阵。它是随机矩阵。
3、平稳性
当转移概率Pij(m,m + n)只与i,j及时间间距n有关时，称转移概率具有平稳性。同时也称些链是齐次的或时齐的。
此时，记Pij(m,m + n) = Pij(n),Pij(n) = PXm + n = aj | Xm = ai(注：称为马氏链的n步转移概率)
P(n) = (Pij(n))为n步转移概率矩阵。
非凡的, 当 k=1 时,
一步转移概率：Pij = Pij(1) = PXm + 1 = aj | Xm = ai。
一步转移概率矩阵：P(1)
马尔可夫过程的应用举例
设任意相继的两天中，雨天转晴天的概率为1/3，晴天转雨天的概率为1/2，任一天晴或雨是互为逆事件。以0表示晴天状态，以1表示雨天状态，Xn表示第n天状态（0或1）。试定出马氏链的一步转移概率矩阵。又已知5月1日为晴天，问5月3日为晴天，5月5日为雨天的概率各等于多少？
解：由于任一天晴或雨是互为逆事件且雨天转晴天的概率为1/3，晴天转雨天的概率为1/2，故一步转移概率和一步转移概率矩阵分别为：
故5月1日为晴天，5月3日为晴天的概率为：
又由于：
故5月1日为晴天，5月5日为雨天的概率为：P01(4) = 0.5995