投票悖论
如何消除投票悖论，这里的关键是确立表决程序。早在1785年，多孔塞就提出，解决投票循环的方法之一就是按照预先设计好的程序对各种备选方案进行两两比较，在每一对方案中选择出多数票支持的方案，最终获胜的那个方案被称为“多孔塞获胜者”。还有一种打破循环的程序叫“淘汰程序”，这种程序安排是：如果在若干个方案中进行选择，在每一轮两两比较中都淘汰掉得票最少的方案，获胜的方案再同剩下的方案进行角逐，最后剩下的就是获胜者。这也说明在多数票规则下，操纵投票程序就可以控制表决结果。
孔多塞发现这一悖论是在十八世纪。200多年来，西方国家对于民主政治的研究极其深入，关于投票问题已经形成系统和成熟的理论体系，孔多塞、阿罗、阿马蒂亚·森等都曾在这一领域做出过杰出贡献。这些研究推动了西方民主的不断发展。
甲A＞B＞C
乙B＞C＞A
丙C＞A＞B
在得多数票获胜的规则下，每个人均按照他的偏好来投票。大多数人是偏好x胜于y，同样大多数人也是偏好y胜于z。按照逻辑上的一致性，这种偏好应当是可以传递的(transivity)，即大多数人偏好x胜于z。但实际上，大多数人偏好z胜于x。因此，以投票的多数规则来确定社会或集体的选择会产生循环的结果，这就好象一只狗在追自己的尾巴，会没完没了地循环下去。结果，在这些选择方案中，没有一个能够获得多数票而通过，这被称作“投票悖论”(thevotingparadox)，它对所有的公共选择问题都是一种固有的难题，所有的公共选择规则都难以避开这种两难境地。
1972年诺贝尔经济学奖的获得者肯尼思·阿罗，在他的《社会选择与个人价值》（1951）中，证明了著名的阿罗不可能性定理，把这个投票悖论形式化了。在该书中，他运用数学工具把孔多塞的观念严格化和一般化了。那
阿罗证明，不存在同时满足如下四个基本公理的社会选择函数：
1）个人偏好的无限制性，即对一个社会可能存在的所有状态，任何逻辑上可能的个人偏好都不应当先验地被排除；
2）弱帕累托原则，
3）非相关目标独立性，即关于一对社会目标的社会偏好序不受其它目标偏好序变化的影响；
4），社会偏好的非独裁性。
简单地说，阿罗的不可能定理意味着，在通常情况下，当社会所有成员的偏好为已知时，不可能通过一定的方法从个人偏好次序得出社会偏好次序，不可能通过一定的程序准确地表达社会全体成员的个人偏好或者达到合意的公共决策。投票悖论表明：根本不存在一种能满足阿罗五个假设条件的社会选择原理。解决投票悖论的方法是限制投票偏好，即将多峰偏好改为单峰偏好。
1998年诺贝尔经济学奖获得者阿马蒂亚·森在20世纪70年代提出对“投票悖论”的解决方法。阿马蒂亚·森所提出的解决投票悖论、绕过“阿罗不可能定理”的方法就是改变甲、乙、丙其中一个人的偏好次序，以解决投票悖论的问题。
甲A＞B＞C
A＞C＞B
乙B＞C＞A
丙C＞A＞B
于是得到三个社会偏好次序——（A＞B）（C＞B）（C＞A），这样就能避开投票悖论，当然它却改变了甲的偏好次序。
阿马蒂亚·森把这个发现加以延伸和拓展，得出了解决投票悖论的三种选择模式：
一、所有人都同意其中一项选择方案并非是最佳；
二、所有人都同意其中一项选择方案并非是次佳；
三、所有人都同意其中一项选择方案并非是最差。
阿马蒂亚·森表示在上述三种选择模式下，投票悖论不会再出现，取而代之的结果是得大多数票者获胜的规则总是能达到唯一的决定。但是有一个问题是为了追求一致性，改变、忽略、牺牲了个人偏好次序。
在中国，民主发展的进程正在加速，关于民主的学术研究成果也可谓丰硕，但是对于投票问题的研究还比较薄弱。在投票的实践中也存在简单化的倾向，或者采取单一的简单多数原则，或者人为规定领导和普通干部职工的
投票悖论可以留待理论家慢慢研究解决，而实践中存在的一些悖论却需要人们尽快加以克服。比如，所谓民主，从字面上理解，就是“人民做主”，但这里的“做主”必须是“做自己的主”，通过投票等形式，选出可以代表自己利益的人表达自己的意愿或代行决策和管理。选出的人或方案与自己的切身利益密切相关，这就决定了选民会保持理智和负责任的态度。然而目前的干部推荐，很多情况下推荐的是与自己毫无关系的职位和人选，在一个县里兴师动众推荐出的干部，可能要到另外一个县任职；某一个处缺少了一名副职，要由与这个处并不相关的其他处室人员通过选票定夺。这种“替别人做主”的民主不仅与民主的基本要义相悖，而且在实践中也已经显露出明显的弊端。再比如，在一个领导班子内部，副职是正职的助手，要向正职负责。然而，按照现行的干部管理规范，一个领导班子的正职并没有任用班子副职的权力，整个班子都经由不同范围的民主推荐和考察，由上级任命。既然副职的提拔使用与正职无关，那么在工作上，副职就缺乏向正职负责的动力和制约，这就给班子内部的团结制造了隐患。同时，也可以发现这里面存在一个明显的悖论，即上级部门任命一个干部作为正职，前提是相信他能够胜任所从事的事业；然而在用人问题上，上级部门却不能给予他充分的信任，必须替他安排好自己的左膀右臂。
总之，关于民主和投票，只能说刚刚起步。有专家研究指出，当前在干部制度改革上，既存在民主不足，也存在民主过度的问题，或许，这才是投票悖论的真正症结。[1]