分步法
正文
把复杂的问题的每个时间步分解成若干个中间步，例如把多维问题按坐标分解成几个一维问题，然后用差分法解这些比较简单的各中间步，最后得到原始问题的近似解，这类方法叫作分步法。交替方向隐式法、
预测校正法、局部一维方法、时间分裂法等都属此类。
1955年D.W.毕斯曼与H.H.瑞契福特在(
x，
y)平面上用交替方向隐式法（简称A
DI方法）,解二维热传导问题
tp://a3.att.hudong.com/10/15/01000000000000119081532055710.gif" align="absMiddle"> (1)
时，对
tp://a4.att.hudong.com/43/15/01000000000000119081532057943.gif" align="absMiddle">与
tp://a0.att.hudong.com/94/15/01000000000000119081532059894.gif" align="absMiddle">进行不同处理,一个取成显式(显式差分方法)，一个取成隐式(隐式差分方法),并依次交替以保持对称性。取Δ
x＝Δ
y＝
h时，可得出如下格式
tp://a0.att.hudong.com/54/15/01000000000000119081532061054.gif" align="absMiddle">
格式(2)用了两步合成一个循环,一般称之为P-R格式。由于P-R格式交替地沿各个空间方向作一维隐式计算,也称为交替方向隐式法,(2)的每个方程组都是系数矩阵为三对直线矩阵的线性方程组,容易求解,从(2)中消去
tp://a4.att.hudong.com/42/15/01000000000000119081532066842.gif" align="absMiddle">经
整理可得
tp://a0.att.hudong.com/74/15/01000000000000119081532068574.gif" align="absMiddle">
把方程(1)的光滑解代入上式，其截断误差为
O(
h2+Δ
t2)，这表明P-R格式具有二阶精度。格式(2)的增长因子是
tp://a4.att.hudong.com/46/15/01000000000000119081532073146.gif" align="absMiddle">
式中
tp://a3.att.hudong.com/70/15/01000000000000119081532076870.gif" align="absMiddle">(
j=1，2)。由于
λ对任何
tp://a1.att.hudong.com/46/15/01000000000000119081532078046.gif" align="absMiddle">都有│
λ│≤1 因此P-R格式(2)是无条件稳定的。P-R格式不宜向三维问题推广，J.道格拉斯和瑞契福特又提出了一种三维问题的交替方向隐式法,也称D-R方法。考虑三维热传导方程
tp://a3.att.hudong.com/96/15/01000000000000119081532081696.gif" align="absMiddle"> (3)
取空间步长
tp://a2.att.hudong.com/87/15/01000000000000119081532082787.gif" align="absMiddle">D-R方法就是
tp://a1.att.hudong.com/59/15/01000000000000119081532083859.gif" align="absMiddle"> (4)
在(4)中消去
tp://a4.att.hudong.com/74/15/01000000000000119081532087774.gif" align="absMiddle">,
tp://a3.att.hudong.com/89/15/01000000000000119081532088889.gif" align="absMiddle">，可得等
价格式
tp://a3.att.hudong.com/10/15/01000000000000119081532090210.gif" align="absMiddle">
这可说明(4)与微分方程(3)相容，(5)的增长因子是
tp://a4.att.hudong.com/83/15/01000000000000119081532095383.gif" align="absMiddle">
式中
tp://a2.att.hudong.com/35/15/01000000000000119081532096635.gif" align="absMiddle"> (
j=1,2,3)。对于一切
tp://a3.att.hudong.com/12/15/01000000000000119081532097612.gif" align="absMiddle">，│
λ│≤1，因此 D-
R格式(4)是无条件稳定的。交替方向隐式格式除上述两种外，还有其他各种变形格式，A
DI方法从
un计算
un+1要分几步完成,中间要计算
tp://a4.att.hudong.com/83/15/01000000000000119081532099783.gif" align="absMiddle">或
tp://a0.att.hudong.com/30/15/01000000000000119081532100730.gif" align="absMiddle">,
tp://a4.att.hudong.com/17/15/01000000000000119081532103017.gif" align="absMiddle">等。
对于热传导方程(3),H.H.亚年科1959年还提出了更简单的格式
tp://a3.att.hudong.com/67/15/01000000000000119081532104767.gif" align="absMiddle"> (6)
消去
tp://a4.att.hudong.com/74/15/01000000000000119081532087774.gif" align="absMiddle">,
tp://a3.att.hudong.com/89/15/01000000000000119081532088889.gif" align="absMiddle">之后，得等
价格式
tp://a4.att.hudong.com/53/15/01000000000000119081532109153.gif" align="absMiddle">
展开成Δ
t的幂次式，得
tp://a1.att.hudong.com/77/15/01000000000000119081532110577.gif" align="absMiddle">
这说明(6)与微分方程(3)相容，(6)的增长因子是
tp://a1.att.hudong.com/60/15/01000000000000119081532113060.gif" align="absMiddle">
所以对于一切
tp://a0.att.hudong.com/88/15/01000000000000119081532114488.gif" align="absMiddle">，它是稳定的。通常称(6)是局部一维方法，它也是一种分步方法。上述方法的另一特点是把差分算子分解成为较简单的差分算子的积，因而又称算子分解法。
配图
