效用曲线

什么是效用曲线
　　效用曲线是用于反映决策者对风险态度的一种曲线。又称"偏好曲线"。在决策中，决策者的个性、才智、胆识、经验等主观因素，使不同的决策者对相同的益损问题 (获取收益或避免损失)作出不同的反应；即使是同一决策者，由于时间和条件等客观因素不同，对相同的益损问题也会有不同的反应。决策者这种对于益损问题的独特感受和取舍，称之为“效用”。效用曲线就是用来反映决策后果的益损值对决策者的效用(即益损值与效用值)之间的关系曲线。通常以益损值为横坐标，以效用值为纵坐标，把决策者对风险态度的变化在此坐标系中描点而拟合成一条曲线。
效用曲线的种类
　　常见的效用曲线分为保守型、激进型、中间型和混合型四种，见图l。
　　

tp://wiki.mbalib.com/w/images/5/55/%E6%95%88%E5%BA%94%E6%9B%B2%E7%BA%BF.jpg" alt="Image:效应曲线.jpg" width="771" height="376" longdesc="/wiki/Image:%E6%95%88%E5%BA%94%E6%9B%B2%E7%BA%BF.jpg">
　　图1 效用曲线
　　1．保守型效用曲线
　　图l中的曲线Ⅱ 严格上凸(下凹)表示效用随着消费者收入的增多而递增，但递增速度越来越慢，即边际效用递减，这样的决策者对于亏损特别敏感，而大的收益对他的吸引力却不是很大，这种类型的决策者容易满足，不求大利，只求避风险。保守型决策者厌恶风险。
　　2．激进型效用曲线
　　图l中的曲线Ⅲ是下凸(上凹)的，表示效用随着消费者收入的增多而递增，而递增速度越来越快，即边际效用递增。曲线中间部分呈下凹形状，表示决策者专注于想获得大的收益而不十分关心亏损，这种类型的决策者不易满足。激进型决策者喜欢风险。
　　3．中问型效用曲线
　　图l中的直线I表示决策的效用与决策损益的货币效果成线性关系，对应于这种效用函数的决策者对决策风险抱中立态度，他或是认为决策的后果对大局无严重影响，或者因为该项决策可以重复进行，从而获得平均意义上的成果，因而对决策的某项后果不予特别关注，而谨慎从事，由于这类效用函数是线性美系，因此，效用期望值最大的方案也已是收益期望值的最大方案。此时一个非确定性决策的确定等价值就等于它的期望收益。
　　4．混合型效用曲线
　　图1中的曲线Ⅳ 表示决策者在收损益额不太大时，决策者具有一定的冒险胆略，追求风险属于激进型，但当损益额增大到一定数量时，他就转化为厌恶风险的决策者了，变为保守型，其实这种类型更符合实际。
　　一般在一定的损益水平条件下，决策者认为效用越大，越倾向于保守型；反之决策者认为效用越小，越倾向于风险型。
　　根据效用曲线的几何特征可选用以下几种统计学中常用的曲线来拟合效用曲线。图1中的曲线Ⅱ 和Ⅲ 的拟合有多种形式．可以用Y = XO，也可用半对数LnY=a+bX形式，以下采用指数函数形式。
效用曲线模型数学推导
　　1．直线——Y=A+BX
　　利用两端点M(X1，1)和N(X0,0)确定直线I; $\text{[math]}$ tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/f/4/0/f40f353a80fa0bc7eee1e182488655df.png" alt="Y=\frac{X-X_0}{X_1-X_0}">其中，y为效用参数，X为损益值(下同)。
　　2．指数曲线—— $\text{[math]}$ tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/7/9/d/79d7b0d4ba399b3c278f0ca659b52b7f.png" alt="Y=A+B_e^{cx}">
　　(1)曲线类型判断。首先，从系数上判断，从图1可以看出曲线II和曲线III同为单调递增函数，且曲线Ⅱ上凸，曲线Ⅲ 下凹。
　　其次，利用期望效用直线判断。当Ym > (Xm − X0) / (x1 − X0) 是，为保守型；
　　当Ym < (Xm − X0) / (X1 − X0)时，为激进型。
　　(2)模型求解。利用两端点M(X1，1)和N(XO，0)，决策损益效用点Q(Xm，Ym)满足
　　 $\text{[math]}$ tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/e/5/4/e544fe6a39a9a1dae1b98922d8eddbf4.png" alt="\begin{cases} A+B_e^{cx_1}=1 \\A+B_e^{cx_0}=0 \\ A+B_e^{cx_m}=Y_m \end{cases}">　　(1)
　　解得：
　　 $\text{[math]}$ tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/0/4/8/04803fe6ccdb2632373d09783dd4844e.png" alt="A=-e^{cx_0}/(e^{cx_1}-e^{cx_0})">　　(2)
　　 $\text{[math]}$ tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/8/5/5/855c9cebd9936e495f4220579693e539.png" alt="B=1/(e^{cx_1}-e^{cx_0})">　　　(3)
　　 $\text{[math]}$ tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/d/b/9/db94ef8ca25a8a8f16a15927fea6bfa8.png" alt="e^{c(x_m-x_0)}=Y_{m}e^{c(x_1-x_0)}+(1+Y_m)">　　　(4)
　　当曲线是保守型时，设 $\text{[math]}$ tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/a/f/3/af3055628dd82e25277c87284ab58f14.png" alt="t=e^{c(x_m-x_n)},a=(X_1-X_0)/(X_m-X_0)>1,a=Y_m,b=1-Y_m">则(4)式可改写成
　　t = ata + b(0 < t < 1)
　　当曲线是激进型时，设 $\text{[math]}$ tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/c/c/3/cc3a31cdb23473742c280f6f5cafe11f.png" alt="t=e^{c(x_m-x_1)},a=(X_1-X_0)/(X_1-X_m)>1,a=1-Y_m,b=Y_m">则(4)式也可改写成(5)式。
　　保守型：由 $\text{[math]}$ tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/c/7/f/c7faf202d5eb82f9dc128ac8ce0cf8b6.png" alt="t=e^{c(x_m-x_0)}">得C = lnt / (Xm − X0)
　　激进型：由 $\text{[math]}$ tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/6/f/0/6f074b9b9b142d7b860d77261c402d26.png" alt="t=e^{c(x_m-x_1)}">
　　得C = Int / (Xm − X1),将C代人(2)式、(3)式，进而求出参数A，B。
　　3．混合型效用曲线
　　设效用函数是：
　　 $\text{[math]}$ tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/6/5/b/65bac438e83037ffedb2997466a8e93e.png" alt="Y=f(x)=a(X-X_0)(X-X_1)(X-b)+\frac{(X-X_0)}{(X_1-X_0)}">
　　由Ym = f(Xm),Ym = f(Xn)解得：
　　 $\text{[math]}$ tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/c/9/b/c9bf560457e069d9f2d14c9f117c2d69.png" alt="a=\frac{(A_m-A_n)}{X_m-X_n}">, $\text{[math]}$ tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/6/d/e/6de5f74817c9b2ff3cc68cc48098321f.png" alt="b=\frac{X_nA_m-X_mA_n}{A_m-A_n}">
　　其中： $\text{[math]}$ tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/e/8/8/e88ac5e181523391ccb966f40ed11a8c.png" alt="A_m=\frac{Y_m-frac{(X_m-X_0)}{X_1-X_0}}{X_m-X_0}(X_m-X_1),A_n=\frac{Y_n-frac{(X_n-X_0)}{X_1-X_0}}{X_n-X_0}(X_n-X_1)">
效用曲线实际运用举例
　　某决策者面临三种建厂方案，决策矩阵如表1所示(单位：万元)。
　　表l

　　解： (1)极大损益效用点为M(700、1)'极小损益效用点为Ⅳ(一500~0)．决策有损益效用点为；2(3O0,0．4)。
　　(2)判断决策类型。 $\text{[math]}$ tp://wiki.mbalib.com/w/images/math/5/4/8/548f6c87e83fae5c154c1c6f3dee1ca7.png" alt="Y_m=O.4< \frac{300- (-500)}{700- (-5OO)}= 0.6667"> ，激进型。
　　(3)模型求导解得： a=0．6，b=0．4，α=3，C=0．001955，A= -0．10588，B= 0．28l4，即Y= -0．10588+ 0.2814e0.001955x。
　　(4)决策。将各行动方案不同状态下损益值分别代人上式求出效用值，然后计算出各行动方案的期望效用。
　　建大厂，U，== 0．7；建中厂，U =0．4646；建小厂，U =0．3177。
　　根据期望值极大原理，应选择建大厂方案，如果决策者选择损益效用点为Q(一200．0．49)可判断为保守型，利用上述方法，则应选择建小厂方案。
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